3 Quelques tests d’hypothèses classiques
Frédéric Santos 
3.1 Principes généraux
Les tests par permutations vus en section précédente constituent souvent juste une alternative plus souple et plus flexible lorsque l’on ne peut pas appliquer de tests d’hypothèses “classiques”. Ces tests “classiques” reposent sur des calculs probabilistes et algébriques exacts pour produire des p-valeurs, et ne dépendent plus de simulations informatiques. La logique de ces tests, et l’interprétation des p-valeurs, restent néanmoins en tout point identiques : seule la “cuisine mathématique” change.
Pour un aperçu général des tests d’hypothèses exacts, on pourra par exemple consulter Daudin, Robin, et Vuillet (1999) ou Bertrand et Maumy-Bertrand (2023).
3.2 Tests paramétriques et non-paramétriques
Les tests d’hypothèses paramétriques et non-paramétriques diffèrent essentiellement dans les hypothèses qu’ils font concernant la distribution des données.
- Les tests paramétriques, comme le test t de Student, supposent que les données suivent une distribution spécifique — très souvent la loi normale. Les hypothèses testées portent alors sur les paramètres de ces lois : par exemple le paramètre de moyenne ou le paramètre de variance d’une loi normale.
- Les tests non-paramétriques, tels que le test de Wilcoxon-Mann-Whitney ou le test de Kruskal-Wallis, ne font (presque) aucune hypothèse sur la distribution des données. Ils sont donc plus flexibles et peuvent être utilisés pour des données dont la distribution est inconnue ou non normale. Les tests non-paramétriques sont souvent utilisés quand les conditions des tests paramétriques ne sont pas remplies.
3.3 Vérifier les prérequis
En général, l’étape préliminaire pour pouvoir appliquer des tests paramétriques consistera à vérifier que l’hypothèse de normalité est raisonnable pour les données étudiées. On pourra le vérifier graphiquement (à l’aide d’un histogramme ou d’un graphique quantile-quantile), ou éventuellement à l’aide d’un test de normalité (e.g., test de Shapiro-Wilk).
Les tests de normalité partent de l’hypothèse nulle que les données suivent une loi normale. Par conséquent :
- si la p-valeur du test est très faible (e.g., \(p < 0.0001\)), alors cela signifie que les données recueillies sont en assez fort désaccord avec l’hypothèse de normalité : cette hypothèse ne semble pas raisonnable ;
- si la p-valeur du test est relativement élevée (e.g., \(p = 0.20\)), alors cela signifie que les données ne semblent pas contredire fortement l’hypothèse de normalité.
3.4 Test de Fisher
Le F-test, ou test de Fisher de comparaison de variances, est un test statistique utilisé pour comparer les variances de deux échantillons. Son hypothèse nulle est donc que les variances des deux populations sous-jacentes sont égales. Ce test repose sur le prérequis que les deux échantillons obtenus sont des réalisations de lois normales.
Le F-test aide à évaluer si les différences observées entre les deux variances sont dues à des facteurs réels ou peuvent simplement être imputées au hasard d’échantillonnage.
Ce test part de l’hypothèse nulle que les deux groupes comparés proviennent de deux populations dont les variances sont identiques. Par conséquent :
- si la p-valeur du test est très faible (e.g., \(p < 0.0001\)), alors cela signifie que les données recueillies sont en assez fort désaccord avec l’hypothèse d’égalité des variances. La différence observée est trop élevée pour être imputée à un simple biais d’échantillonnage entre deux populations identiques ;
- si la p-valeur du test est relativement élevée (e.g., \(p = 0.20\)), alors cela signifie que les données ne semblent pas contredire fortement l’hypothèse d’égalité des variances. La différence observée est compatible avec de simples fluctuations d’échantillonnage entre deux populations identiques.
Remarque. Comme pour tous les tests d’hypothèse, il n’y a pas que la taille d’effet qui joue (i.e., l’ampleur de la différence entre les deux variances), mais aussi la taille des deux échantillons !
3.5 Test de Student
Le t-test, ou test de Student de comparaison de moyennes, est un test statistique utilisé pour comparer les moyennes de deux échantillons. Son hypothèse nulle est donc que les moyennes des deux populations sous-jacentes sont égales. Ce test repose sur le prérequis que les deux échantillons obtenus sont des réalisations de lois normales.
Le t-test aide à évaluer si les différences observées entre les deux moyennes sont dues à des facteurs réels ou peuvent simplement être imputées au hasard d’échantillonnage.
Exercice. Comment interpréter la p-valeur d’un t-test ?